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Digitaltechnik
2. Semester
Grundlagen der Digitaltechnik: Zahlensysteme, Boolesche Algebra, KV-Diagramm-Minimierung, Logikgatter & Codes, Zweierkomplement und Flipflop-/Zählerschaltungen.
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Wie lautet die BCD-Codierung (8-4-2-1) der Dezimalzahl 59?
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Zum Nachlesen — jede Klausurfalle mit Lösung und kurzer Erklärung.
Wie lautet die BCD-Codierung (8-4-2-1) der Dezimalzahl 59?
Antwort: 0101 1001
Bei BCD wird jede Dezimalziffer einzeln in 4 Bit codiert: 5 = 0101 und 9 = 1001, also 0101 1001. Die Falle 0011 1011 (bzw. ohne fuehrende Null 111011) ist die reine Dualzahl von 59 - BCD ist NICHT dasselbe wie die Dualdarstellung. 1001 0101 vertauscht zusaetzlich die Ziffernreihenfolge (95 statt 59).
Die Dualzahl 1011 1110 soll in das Hexadezimalsystem umgewandelt werden. Wie lautet das Ergebnis?
Antwort: BE
Man gruppiert von rechts in 4er-Bloecke: 1011 = 11 = B und 1110 = 14 = E, also BE (= 190 dezimal). Die Falle 1114 entsteht, wenn man die Nibble-Werte 11 und 14 als Dezimalziffern aneinanderreiht, statt die Hex-Ziffern A-F zu benutzen. EB vertauscht die Blockreihenfolge, BF liest 1110 faelschlich als 15 (F) statt 14 (E).
Die Dezimalzahl 20 soll als 8-Bit-Dualzahl (ein Byte) dargestellt werden. Welche Darstellung ist korrekt?
Antwort: 0001 0100
20 = 16 + 4 = 10100, auf ein volles Byte mit fuehrenden Nullen aufgefuellt ergibt das 0001 0100. Die Falle 10100 ist zwar wertgleich, aber nicht auf 8 Bit aufgefuellt (fuehrende Nullen fehlen). 0010 0000 ist die BCD-Codierung von 20 und entspricht als Dualzahl dem Wert 32, 0001 0010 waere 18.
In 8-Bit-Zweierkomplement (Wertebereich -128..+127) werden die Zahlen 100 und 50 addiert. Welche Aussage ist korrekt?
Antwort: -106; es liegt ein Überlauf vor, obwohl kein Carry-out aus dem MSB entsteht
100 = 01100100 und 50 = 00110010 ergeben 10010110 = -106 (150 - 256). Beide Operanden sind positiv, das Ergebnis ist negativ, also liegt ein Überlauf vor. Aus dem MSB entsteht kein Carry-out, dennoch besteht ein Überlauf, denn dieser wird über die Vorzeichen der Operanden und des Ergebnisses erkannt, nicht über das Carry-out.
Eine 8-Bit-Zahl im Zweierkomplement lautet 10000000. Was ergibt ihre Negation nach der Vorschrift -x = ~x + 1?
Antwort: Das Ergebnis bleibt 10000000, also -128, weil +128 im 8-Bit-Wertebereich nicht darstellbar ist
~(10000000) = 01111111, plus 1 ergibt wieder 10000000 = -128. Der Wertebereich ist asymmetrisch (-128..+127), daher besitzt -128 kein positives Gegenstueck, und die Negation von -128 liefert erneut -128.
In 4-Bit-Zweierkomplement (Wertebereich -8..+7) wird die Subtraktion -8 - 1 als -8 + (-1) ausgefuehrt. Welche Aussage trifft zu?
Antwort: Das Ergebnis erscheint als 0111 (+7); es liegt ein Überlauf vor, da -9 nicht im Bereich -8..+7 liegt
-1 = 1111, damit 1000 + 1111 = 1 0111; das Carry-out wird verworfen, es bleibt 0111 = +7. Beide Operanden sind negativ, das Ergebnis positiv, also Überlauf, denn das korrekte -9 liegt ausserhalb von -8..+7. Der entstehende Carry-out ist kein Beweis fuer ein gueltiges Ergebnis.
Vereinfachen Sie den Ausdruck ¬(A + B·C) mit dem Satz von De Morgan. (¬ = Negation, · = UND, + = ODER)
Antwort: ¬A · (¬B + ¬C)
De Morgan: ¬(A + B·C) = ¬A · ¬(B·C), und ¬(B·C) = ¬B + ¬C, also ¬A · (¬B + ¬C). Der Distraktor ¬A · B · C entsteht, wenn man den Term B·C nicht mitnegiert; ¬A · ¬B · ¬C entsteht durch falsches De Morgan im inneren Produkt (UND bleibt fälschlich UND statt ODER); ¬A + ¬B + ¬C behandelt den Ausdruck fälschlich als ¬(A+B+C).
Vereinfachen Sie den booleschen Ausdruck A·B + A·¬B + ¬A·B so weit wie möglich. (¬ = Negation, · = UND, + = ODER)
Antwort: A + B
Die ersten beiden Terme: A·B + A·¬B = A·(B+¬B) = A. Übrig bleibt A + ¬A·B, und nach dem Absorptionsgesetz gilt A + ¬A·B = A + B. Der Distraktor A entsteht, wenn man nur die ersten beiden Terme zusammenfasst und den Term ¬A·B unterschlägt (Verwechslung mit der echten Absorption A + A·B = A).
Welcher der folgenden Ausdrücke ist äquivalent zur Antivalenz A ⊕ B (XOR)? (¬ = Negation, · = UND, + = ODER)
Antwort: A·¬B + ¬A·B
XOR ist genau dann 1, wenn sich A und B unterscheiden: A ⊕ B = A·¬B + ¬A·B. Der Distraktor A·B + ¬A·¬B ist die Äquivalenz (XNOR = ¬(A⊕B)), also das genaue Gegenteil. A·¬B + ¬A·¬B = ¬B·(A+¬A) = ¬B und A·B + ¬A·B = B·(A+¬A) = B sind fahrlässig zusammengefasste, falsche Terme.
Ein Student möchte in einem KV-Diagramm sechs benachbarte Einsen, die zusammen ein 2×3-Rechteck bilden, zu EINER einzigen Gruppe zusammenfassen. Ist das zulässig?
Antwort: Nein – erlaubt sind nur Zweierpotenzen (1, 2, 4, 8 …); die 6 Felder deckt man z. B. mit zwei überlappenden Vierergruppen ab.
Nur Blöcke mit 2^k Feldern (1, 2, 4, 8, 16) sind gültig, weil genau dann k Variablen herausfallen. 6 und 3 sind keine Zweierpotenzen; die 6 Einsen fasst man mit zwei überlappenden Vierergruppen zusammen. 'Geradzahlig' allein genügt nicht.
In einem KV-Diagramm mit vier Variablen A, B, C, D sind genau die vier Eckfelder mit 1 belegt; sie gehören zu den Eingangskombinationen (A B C D) = 0000, 0010, 1000 und 1010. Zu welchem minimalen Produktterm lassen sich diese vier Felder zusammenfassen?
Antwort: B̄ · D̄
Wegen der zyklischen (Rand-)Nachbarschaft grenzen die vier Ecken aneinander und bilden eine gültige Vierergruppe. Alle vier haben B=0 und D=0, während A und C wechseln → B̄ · D̄. 'B · D' vertauscht die Polarität, 'Ā · C̄' die konstanten Variablen.
Eine Funktion f(A, B, C) hat Einsen bei den Mintermen 1, 3 und 5 sowie einen Don't-Care bei Minterm 7. Wie lautet die minimale DNF, wenn der Don't-Care optimal genutzt wird?
Antwort: f = C
Die Minterme 1(001), 3(011), 5(101) haben alle C=1; der Don't-Care 7(111) ebenfalls. Als 1 gesetzt bilden 1,3,5,7 die komplette Spalte C=1 → f = C. Ignoriert man den Don't-Care, bleibt nur Ā·C + B̄·C (zwei Terme, nicht minimal); f = C̄ verwechselt die Polarität, A·C deckt nur 5 und 7.
Mit welchem der folgenden Gatter ALLEIN (beliebig oft verwendet) lässt sich JEDE beliebige Boolesche Funktion aufbauen?
Antwort: NAND
NAND (ebenso NOR) ist universell: Aus NAND allein lassen sich NOT, AND und OR erzeugen, also eine vollständige Basis. XOR ist NUR linear/affin – daraus lässt sich z. B. kein AND und ohne Konstante keine Negation bilden, es ist also NICHT universell. AND bzw. OR allein können kein NOT erzeugen (monoton) und sind daher ebenfalls nicht universell. Nur NAND erfüllt die Bedingung.
Die Dualzahl 0110₂ soll in den Gray-Code umgewandelt werden. Wie lautet das Gray-Codewort?
Antwort: 0101
Umwandlung: G = B XOR (B>>1). Das MSB bleibt (0), jedes weitere Gray-Bit ist das XOR zweier benachbarter Dualbits: 0110 XOR 0011 = 0101. Distraktor 0110 = keine Umwandlung (Gray mit Dual verwechselt), 0011 = nur die Verschiebung ohne XOR, 1010 = XOR in falscher Richtung. Vorteil des Gray-Codes: zwischen zwei aufeinanderfolgenden Zahlen ändert sich stets nur genau 1 Bit.
Das 8-Bit-Datenwort 0110 1100 wird um ein Paritätsbit ergänzt. Wie lautet das Paritätsbit bei GERADER (even) bzw. bei UNGERADER (odd) Parität?
Antwort: gerade: 0, ungerade: 1
Das Wort 0110 1100 enthält vier Einsen (gerade Anzahl). Bei gerader Parität muss die Gesamtzahl der Einsen gerade bleiben → Paritätsbit = 0 (es bleiben 4). Bei ungerader Parität muss die Gesamtzahl ungerade sein → Paritätsbit = 1 (ergibt 5). Der häufigste Fehler ist das Vertauschen beider Schemata (gerade: 1, ungerade: 0).
Ein JK-Flipflop speichert aktuell Q = 1. Vor der aktiven Taktflanke liegt J = 1 und K = 1 an. Welchen Wert hat Q unmittelbar nach der Taktflanke?
Antwort: Q = 0
Beim JK-Flipflop bedeutet J = K = 1 Toggeln (Wechseln): Q kippt von 1 auf 0. Der Distraktor 'Q = 1' unterstellt fälschlich ein Speichern (das gilt nur bei J = K = 0), und 'unzulässig' verwechselt das JK-FF mit dem RS-Flipflop, bei dem S = R = 1 verboten ist.
Vier T-Flipflops (jeweils mit T = 1) sind als asynchroner Frequenzteiler in Reihe geschaltet. Am Takteingang des ersten Flipflops liegt eine Frequenz von 8 MHz. Welche Frequenz erscheint am Ausgang des vierten Flipflops?
Antwort: 0,5 MHz
Jedes T-Flipflop mit T = 1 toggelt und halbiert die Frequenz. Bei 4 Flipflops teilt sich die Frequenz durch 2^4 = 16: 8 MHz / 16 = 0,5 MHz. '2 MHz' entsteht durch fälschliches Teilen durch die Anzahl n = 4, '4 MHz' berücksichtigt nur ein Flipflop, '1 MHz' teilt nur durch 2^3.
Ein flankengesteuertes D-Flipflop verlangt eine Setup-Zeit von 4 ns. Das Datensignal am D-Eingang wechselt seinen Wert erst 2,5 ns vor der aktiven Taktflanke. Was folgt daraus?
Antwort: Die Setup-Bedingung ist verletzt (2,5 ns < 4 ns); der Ausgang kann metastabil werden.
Die Setup-Zeit fordert, dass das Datum mindestens 4 ns VOR der Taktflanke stabil anliegt; mit nur 2,5 ns ist sie verletzt und das Flipflop kann metastabil werden. Der zweite Distraktor ignoriert die geforderte Mindestzeit, der dritte verwechselt Setup (vor der Flanke) mit Hold (nach der Flanke).
⚡ Merkregeln
„Ein Überlauf im Zweierkomplement liegt nur vor, wenn beide Summanden dasselbe Vorzeichen haben und das Ergebnis plötzlich das andere Vorzeichen trägt.“
„Beim Auflösen einer negierten Klammer wird aus UND ein ODER (und umgekehrt) und zusätzlich jeder einzelne Term für sich negiert.“
„Ohne Index ist eine Zahl wie 10 mehrdeutig, denn 10 zur Basis 2, 10 und 16 stehen fuer drei voellig verschiedene Werte.“
„Im KV-Diagramm duerfen sich benachbarte Felder nur in genau einem Bit unterscheiden, deshalb laeuft die Beschriftung im Gray-Code und nicht in normaler Zaehlreihenfolge.“
„XOR ist der Ungleich-Melder: Der Ausgang wird genau dann 1, wenn eine ungerade Anzahl der Eingaenge 1 ist, was es zum idealen Baustein fuer Paritaetsbits macht.“
„Ein Flipflop uebernimmt den Wert nur zuverlaessig, wenn der Dateneingang schon vor der Taktflanke (Setup) und noch kurz danach (Hold) stabil anliegt.“
📐 Formelsammlung
Eine vorzeichenbehaftete n-Bit-Zahl im Zweierkomplement kann genau diese ganzen Zahlen darstellen, wobei es einen negativen Wert mehr als positive gibt.
Man negiert alle Bits und addiert 1, um aus einer Zahl ihr Negatives zu erhalten.
Eine negierte Verknuepfung laesst sich in die entgegengesetzte Verknuepfung der einzeln negierten Terme umwandeln.
Der Wert einer Ziffernfolge ergibt sich als Summe jeder Ziffer multipliziert mit der Potenz ihrer Basis b an der jeweiligen Stelle i.
Zwei Bits werden per XOR zur Summe und per UND zum Uebertrag verknuepft, die Grundzelle jeder binaeren Addition.
📚 Literaturtipps
- Digitaltechnik: Lehr- und Übungsbuch für Elektrotechniker und Informatiker — Klaus Fricke
Gut fuer den systematischen Einstieg mit vielen durchgerechneten Uebungsaufgaben zu Zahlensystemen, Boolescher Algebra und Schaltnetzen.
- Digitaltechnik: Grundlagen, VHDL, FPGAs, Mikrocontroller — Winfried Gehrke, Marco Winzker, Klaus Urbanski, Roland Woitowitz
Gut als praxisnahes Standardwerk, das von den Grundlagen bis zur konkreten Umsetzung in VHDL und Hardware reicht.
- Taschenbuch Digitaltechnik — Christian Siemers, Axel Sikora
Gut als kompaktes Nachschlagewerk, um Definitionen, Codes und Schaltungsprinzipien zur Pruefungsvorbereitung schnell zu finden.